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四川分校
【导读】无论国考还是联考,不定方程是数学运算历年考查的重点题型,也是令很多考生畏惧的难点题型。

  公务员备考:必考不定方程

  华图教育 左宏帅

  无论国考还是联考,不定方程是数学运算历年考查的重点题型,也是令很多考生畏惧的难点题型。华图公务员考试研究中心以近几年的省考真题为例,对不定方程这一模块常用的方法进行详细的真题解析与命题趋势分析,以备考生需要。

  题型一:代入排除法

  【例1】1分、2分和5分的硬币共100枚,价值2元,如果其中2分硬币的价值比1分硬币的价值多13分,那么三种硬币各多少枚?( )

  A.51、32、17 B.60、20、20

  C.45、40、15 D.54、28、18

  【解析】不定方程最基本的方法是代入排除法。本题中将选项代入,发现只有A选项满足2分硬币的价值比1分硬币的价值多13分。所以,本题答案为A选项。

  【练习】装某种产品的盒子有大、小两种,大盒每盒能装11个,小盒每盒能装8个,要把89个产品装入盒内,要求每个盒子都恰好装满,需要大、小盒子各多少个?( )

  A. 3,7 B. 4,6

  C. 5,4 D. 6,3

  【解析】思路与例1完全相同,直接代入选项,只有A选项满足89个产品。

  题型二:数字特性法

  近来比较喜欢考查在不定方程的基础上,外加一个条件,这个条件可以是明显的条件或者暗含在题干信息中。对于此种类型的不定方程,优先考虑奇偶特性,然后考虑尾数特性。

  【例2】某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师,培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均地分给各个老师带领,刚好能够分完,且每位老师所带的学生数量都是质数。后来由于学生人数减少,培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师,但每名教师所带的学生数量不变,那么目前培训中心还剩下学员多少人?( )

  A.36 B.37

  C.39 D.41

  【解析】假设每名钢琴老师带的学生数是x,拉丁舞老师带的学生数为y,则本题就是在不定方程的基础上,加了x、y都是质数这个条件,要根据数字特性来寻求满足该不定方程的解。先考虑奇偶特性,76是偶数,6y是偶数,则5x是偶数,而5是奇数,所以x是偶数,并且是质数,因此x=2,代入方程,y=11。所以4×2+3×11=41,本题选择D选项。

  【练习】超市将99个苹果装进两种包装盒,大包装盒每个装12个苹果,小包装盒每个装5个苹果,共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个?( )

  A.3 B.4

  C.7 D.13

  【解析】此题与例2属于同一类型。假设大、小包装盒的个数分别为x、y,在不定方程的基础上,加了一个条件

。同样考虑奇偶特性,12x是偶数,99是奇数,则5y是奇数,但是满足此条件的y的取值比较多。所以该题需要考虑尾数特性,5y是奇数,则尾数必须是5,12x的尾数为4,x=2或者7。x=2,y=15满足条件,差为13。而x=7,y=3,和为10,不满足条件,排除。本题选择D选项。

  题型三:赋0法 或者消元法

  三元一次不定方程组,在求解一个式子的类型中,可以将其中一个未知数赋为0,或者消掉一个未知数,从而转化为二元一次方程来求解。

  【例3】甲、乙、丙三种货物,如果购买甲3件、乙7件、丙1件需花3.15元,如果购买甲4件、乙10件、丙1件需花4.20元,那么购买甲、乙、丙各1件需花多少钱?( )

  A.1.05元 B.1.40元

  C.1.85元 D.2.10元

  【解析】假设甲、乙、丙1件的价钱分别为x、y、z,则根据题意,可以列得不定方程组为:,本题要求的

的值,而此值为定值。所以可以赋y=0,则解得x=1.05,z=0,则=1.05,答案为A选项。本题也可以采用消元法,将第一个方程×3-第二个方程×2==1.05。

  【练习】甲买了3支签字笔、7支圆珠笔和1支铅笔,共花了32元,乙买了4支同样的签字笔、10支圆珠笔和1支铅笔,共花了43元。如果同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支,共用多少钱?( )

  A.21元 B.11元

  C.10元 D.17元

  【解析】本题与例3属于同一类型。假设1支签字笔、圆珠笔、铅笔的价钱分别为x、y、z,可以列得不定方程组为:

,本题要求的取值,此值为定值。所以赋y=0,则解得x=11,z=-1,则=10。本题也可以采用消元法,将第一个方程×3-第二个方程×2==10。答案为C选项。

  题型四:特殊因子法

  三元一次不定方程,求解的不是一个式子的时候,可以采用特殊因子法。

  【例4】某公司的6名员工一起去用餐,他们各自购买了三种不同食品中的一种,且每人只购买了一份。已知盖饭15元一份,水饺7元一份,面条9元一份,他们一共花费了60元。问他们中最多有几人买了水饺?( )

  A.1 B.2

  C.3 D.4

  【解析】假设盖饭、水饺、面条各购买了x、y、z份,则根据题意有:,根据第二个方程15x、9z、60都是3的倍数,所以7y也是3的倍数,y是3的倍数,又是小于6的整数,因此y=3,本题答案为C选项。

  【小结】

  不定方程的主要方法不外乎五类:代入排除法、数字特性法、赋0法、消元法、特殊因子法,五种方法并不具有排他性,也可结合起来使用。基本题型分四种:

  1. 题目如果只列不定方程或者不定方程组,没有给定显性条件,则优先考虑代入排除法;

  2. 题目如果只列二元一次不定方程,外加条件,一般考虑数字特性法:优先奇偶特性,然后考虑尾数特性;

  3. 题目如果是三元一次不定方程组,求解一个为定值的式子,则用赋0法 或者消元法;

  4. 题目如果是三元一次不定方程组,求解一个未知数,则可以用特殊数字法。

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(责任编辑:四川德阳)

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